Question

已知函數(shù)f（x）對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2，，且當x＞0時，f（x）＞2．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）若f（3）=5，求滿足f（a²-2a-2）＜3的實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）在R上單調(diào)遞增
證明：設x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，則x₂-x₁＞0，
∵當x＞0時，f（x）＞2
∴f（x₂-x₁）＞2
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-2
∴f（x₂）+f（-x₁）-2＞2
∴f（x₂）+f（-x₁）＞4；
對f（x+y）+2=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=2，
再取y=-x得：f（x）+f（-x）=4，即f（-x）=4-f（x），
∴有f（x₂）+4-f（x₁）＞4
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R上遞增，
（2）解：f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3；
于是，不等式f（a²-2a-2）＜3等價于f（a²-2a-2）＜f（1）
∵f（x）在R上遞增，
∴a²-2a-2＜1
∴a²-2a-3＜0
∴-1＜a＜3．
∴滿足f（a²-2a-2）＜3的實數(shù)a的取值范圍為（-1，3）
分析：（1）f（x）在R上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性的定義證明．設x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，則x₂-x₁＞0，所以f（x₂-x₁）＞2，從而有f（x₂）+f（-x₁）＞4，再取x=y=0得：f（0）=2，再取y=-x得：f（-x）=4-f（x），從而可得f（x₂）＞f（x₁）；（2）由f（3）=5，可得f（1）=3，于是不等式f（a²-2a-2）＜3等價于f（a²-2a-2）＜f（1）．利用f（x）在R上遞增，可得a²-2a-2＜1，從而可得滿足f（a²-2a-2）＜3的實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，考查利用單調(diào)性解不等式，已知抽象函數(shù)的運算性質(zhì)，常用“賦值法”．