Question

設橢圓方程為x2+

y2

4

=1，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，點N的坐標為(

1

2

，

1

2

)，當l繞點M旋轉時，求：
（1）動點P的軌跡方程；
（2）|

NP

|的最小值與最大值．

Answer 1

分析：（1）設出直線l的方程，A，B的坐標，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理表示出x₁+x₂，利用直線方程表示出y₁+y₂，然后利用

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)求得

OP

的坐標，設出P的坐標，然后聯(lián)立方程消去參數(shù)k求得x和y的關系式，P點軌跡可得．
（2）根據(jù)點P的軌跡方程求得x的范圍，利用兩點間的距離公式求得|

NP

|，利用二次函數(shù)的性質和x的范圍求得其最大和最小值．

解答：解：（1）直線l過點M（0，1）設其斜率為k，則l的方程為y=kx+1．
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題設可得點A、B的坐標是方程組

y=kx+1① x2+ y2 4 =1②

的解．
將①代入②并化簡得，（4+k²）x²+2kx-3=0，所以

x1+x2=- 2k 4+k2 y1+y2= 8 4+k2 .

，
于是

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)=(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)=(

-k

4+k2

，

4

4+k2

)．
設點P的坐標為（x，y），則

x= -k 4+k2 y= 4 4+k2 .

消去參數(shù)k得4x²+y²-y=0③
當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方
程為4x²+y²-y=0．
（2）解：由點P的軌跡方程知x2≤

1

16

，即-

1

4

≤x≤

1

4

．所以|

NP

|2=(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=(x-

1

2

)2+

1

4

-4x2=-3(x+

1

6

)2+

7

12

故當x=

1

4

，|

NP

|取得最小值，最小值為

1

4

；當x=-

1

6

時，|

NP

|取得最大值，
最大值為

21

6

．

點評：本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質等基礎知識，以及軌跡的求法與應用、曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．