Question

（13分）如圖，在斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，側面AA₁B₁B⊥底面ABC，側棱AA₁與底面ABC成60°的角，AA₁=2，底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心是G點，E是線段BC₁上的一點，且BEBC₁，

（1）求證：GE∥側面AA₁B₁B；

（2）求平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的正切值。

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵側面AA₁B₁B⊥底面ABC，側棱AA₁與底面ABC成60°角，

 

∴∠AA₁B=60°，又A₁A=AB=2，取AB的中點O，則A₁O底面ABC，

以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz，如圖：

則A（0，-1，0）、B（0，1，0）、C（，0，0）

A₁（0，0，）、B₁（0，2，）、C₁（，1，）

∵G為ΔABC的重心，  ∴

（2）設平面B₁GE的法向量為

由，又底面ABC的一個法向量為，

設平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角大小為，

則。

 

【解析】略