Question

（2005•閘北區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+

π

6

)-cos(x+

π

3

)+cosx，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并寫出其所有單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-

π

2

，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的最大值M與最小值m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函數(shù)解析式的第一項(xiàng)利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，合并后，提取2，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由x的范圍，求出第一問(wèn)化簡(jiǎn)后的正弦函數(shù)中角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到函數(shù)f（x）的最大值M和最小值m．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin(x+

π

6

)-cos(x+

π

3

)+cosx
=

3

2

sinx+

1

2

cosx-（

1

2

cosx-

3

2

sinx）+cosx
=

3

sinx+cosx
=2sin（x+

π

6

），
∵ω=1，∴T=2π，
令2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，解得：2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

4π

3

，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間：[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

](k∈Z)；

（Ⅱ）x∈[-

π

2

，

π

2

]⇒x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]⇒M=f(

π

3

)=2，m=f(-

π

2

)=-

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，周期公式以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的三角函數(shù)是求函數(shù)周期的關(guān)鍵，同時(shí)要求學(xué)生熟練掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)．