Question

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+

1

3

）（m＞0）上存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

1+x

a(1-x)

[xf（x）-1]，若對(duì)任意x∈（0，1）恒有g(shù)（x）＜-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的極值，在探討函數(shù)在區(qū)間 （m，m+

1

3

）（其中a＞0）上存在極值，尋找關(guān)于m的不等式，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）先求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx+

2a(1-x)

1+x

，求出h（x）的最大值小于0即可．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

1+lnx

x

，
所以f′（x）=-

lnx

x2

（x＞0）．極值點(diǎn)為f′（x）=0解得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．
故m＜1＜m+

1

3

，解得

2

3

＜m＜1．
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

2

3

，1）．
（Ⅱ）由題意知，a≠0，且g（x）=

1+x

a(1-x)

lnx，因?yàn)閤∈（0，1），所以

1+x

1-x

lnx＜0，
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）＞0，不合題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，由g（x）＜-2，可得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0恒成立，
設(shè)h（x）=lnx+

2a(1-x)

1+x

，則h_max（x）＜0，
∴h′（x）=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

設(shè)t（x）=x²+（2-4a）x+1，△=（2-4a）²-4=16a（a-1）．
（1）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，△≤0，此時(shí)：t（x）≥0，h'（x）≥0，所以h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又h（1）=0，
所以h（x）＜h（1）=0．所以0＜a≤1符合條件
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，△＞0，注意到t（0）=1＞0，t（1）=4（1-a）＜0，所以存在x₀∈（0，1），使得t（x₀）=0，于是對(duì)任意x∈（x₀，1），t（x）＜0，h'（x）＜0．則h（x）在（x₀，1）內(nèi)單調(diào)遞減，又h（1）=0，所以當(dāng)x∈（x₀，1）時(shí)，h（x）＞0，不合要求，
綜合（1）（2）可得0＜a≤1

點(diǎn)評(píng)：本題考查極值的應(yīng)用，應(yīng)用滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法和分類(lèi)討論法的合理運(yùn)用．