已知函數(shù)f(x)=ax2+ln(x+1).
(Ⅰ)當(dāng)a=-
1
4
時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),不等式f(x)≤x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(Ⅲ)求證:(1+
1
1×2
)(1+
1
2×3
)•…•[1+
1
n(n+1)
]<e
(n∈N*,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
提示:[ln(x+1)]′=
1
x+1
分析:(Ⅰ)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再令導(dǎo)數(shù)大于0求出單調(diào)增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于0求出函數(shù)的減區(qū)間,再由極值的定義判斷出極值即可;
(Ⅱ)若對(duì)于任意x∈[0,+∞),f(x)≤x恒成立,則必有x≥0時(shí),ax2+ln(x+1)-x≤0恒成立,即要求函數(shù)g(x)=ax2+ln(x+1)-x(x≥0)的最大值小于等于0即可;
(Ⅲ)利用不等式ln(x+1)≤x對(duì)所要證明的不等式進(jìn)行放縮,然后利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和,從而進(jìn)行證明.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=-
1
4
時(shí),f(x)=-
1
4
x2+ln(x+1)
(x>-1),f′(x)=-
1
2
x+
1
x+1
=-
(x+2)(x-1)
2(x+1)
(x>-1),
由f'(x)>0解得-1<x<1,由f'(x)<0解得x>1.
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).(4分)
(Ⅱ)因當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),不等式f(x)≤x恒成立,
即ax2+ln(x+1)-x≤0恒成立,
設(shè)g(x)=ax2+ln(x+1)-x(x≥0),只需g(x)max≤0即可.(5分)
g′(x)=2ax+
1
x+1
-1
=
x[2ax+(2a-1)]
x+1
,
(ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),g′(x)=
-x
x+1
,
當(dāng)x>0時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
故g(x)≤g(0)=0成立.(6分)
(ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),由g′(x)=
x[2ax+(2a-1)]
x+1
=0
,因x∈[0,+∞),所以x=
1
2a
-1
,
①若
1
2a
-1<0
,即a>
1
2
時(shí),在區(qū)間(0,+∞)上,g'(x)>0,
則函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)在[0,+∞)上無(wú)最大值(或:當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→+∞),此時(shí)不滿足條件;
②若
1
2a
-1≥0
,即0<a≤
1
2
時(shí),函數(shù)g(x)在(0,
1
2a
-1)
上單調(diào)遞減,在區(qū)間(
1
2a
-1,+∞)
上單調(diào)遞增,
同樣g(x)在[0,+∞)上無(wú)最大值,不滿足條件.(8分)
(ⅲ)當(dāng)a<0時(shí),由g′(x)=
x[2ax+(2a-1)]
x+1
,∵x∈[0,+∞),∴2ax+(2a-1)<0,
∴g'(x)<0,故函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,故g(x)≤g(0)=0成立.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0].(10分)
(Ⅲ)據(jù)(Ⅱ)知當(dāng)a=0時(shí),ln(x+1)≤x在[0,+∞)上恒成立(11分)
則對(duì)任意的n∈N*,有ln[1+
1
n(n+1)
]≤
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

ln{(1+
1
1×2
)(1+
1
2×3
)•…•[1+
1
n(n+1)
]}=ln(1+
1
1×2
)+ln(1+
1
2×3
)+…+ln[1+
1
n(n+1)
]

≤1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
<1

(1+
1
1×2
)(1+
1
2×3
)•…•[1+
1
n(n+1)
]<e
點(diǎn)評(píng):此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值問(wèn)題,解題過(guò)程中多次用到了轉(zhuǎn)化的思想,第二題是函數(shù)的恒成立問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決,第三問(wèn)不等式的證明要借助所給不等式,利用它進(jìn)行放縮證明,本題難度比較大,是一道綜合題;
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a-x2
x
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1
2
 , 2])

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1
4
)
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34
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