Question

【題目】（本題滿分16分）數(shù)列， ， 滿足： ， ， ．

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若數(shù)列， 都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列從第二項起為等差數(shù)列；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，試判斷當時，數(shù)列是否成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（１）詳見解析（２）詳見解析（3）數(shù)列成等差數(shù)列．

【解析】試題分析：（１）證明一個數(shù)列為等差數(shù)列，一般從等差數(shù)列定義出發(fā)： ，其中為等差數(shù)列的公差（2）同（1），先根據(jù)關(guān)系式， 解出，再從等差數(shù)列定義出發(fā)，其中分別為等差數(shù)列， 的公差（3）探究性問題，可將條件向目標轉(zhuǎn)化，一方面，所以，即，另一方面，所以，整理得，從而，即數(shù)列成等差數(shù)列．

試題解析：證明：（1）設數(shù)列的公差為，

∵，

∴，

∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列． ４分

（2）當時， ，

∵，∴，∴，

∴，

∵數(shù)列， 都是等差數(shù)列，∴為常數(shù)，

∴數(shù)列從第二項起為等差數(shù)列． １０分

（3）數(shù)列成等差數(shù)列．

解法１ 設數(shù)列的公差為，

∵，

∴，∴， ， ，

∴，

設，∴，

兩式相減得： ，

即，∴，

∴，

∴， １２分

令，得，

∵，∴，∴，

∴，∴，

∴數(shù)列（）是公差為的等差數(shù)列， １４分

∵，令， ，即，

∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列． １６分

解法2 ∵， ，

令， ，即， １２分

∴， ，

∴，

∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴，

∴， １４分

∵，∴，

∴數(shù)列是等差數(shù)列． １６分