Question

設a≥0，若y=cos²x-asinx+b的最大值為0，最小值為-4，試求a與b的值，并求y的最大、最小值及相應的x值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：用配方法整理函數(shù)解析式，根據(jù)sinx的范圍和a的范圍確定函數(shù)的最大和最小值，聯(lián)立方程可求得a和b．則函數(shù)解析式可得，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定y的最大和最小值以及此時x的值．

解答： 解：原函數(shù)變形為y=-(sinx+

a

2

)2+

a2

4

+b+1，
∵-1≤sinx≤1，a≥0
∴若0≤a≤2，當sinx=-

a

2

時
y_max=1+b+

a2

4

=0 ①
當sinx=1時，y_min=-(1+

a

2

)2+1+b+

a2

4

=-a+b=-4 ②
聯(lián)立①②式解得a=2，b=-2，
y取得最大、小值時的x值分別為：
x=2kπ-

π

2

（k∈Z），x=2kπ+

π

2

（k∈Z）
若a＞2時，

a

2

∈（1，+∞）
∴y_max=-(1-

a

2

)2+1+b+

a2

4

=a+b=0  ③
y_min=-(1+

a

2

)2+1+b+

a2

4

=-a+b=-4④
由③④得a=2時，而

a

2

=1（舍去），
故只有一組解a=2，b=-2

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．可與二次函數(shù)圖象相聯(lián)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決．