Question

如圖，設拋物線c₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂，以F₁、F₂為焦點，離心率e=的橢圓c₂與拋物線c₁在x軸上方的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l經過橢圓c₂的右焦點F₂，與拋物線c₁交于A₁、A₂，如果以線段A₁A₂為直徑作圓，試判斷點P與圓的位置關系，并說明理由；
（3）是否存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：由題設條件設橢圓方程為．
（1）當m=1時，故橢圓方程為．
（2）依題意設直線l的方程為：x=ky+1，k∈R，聯立得點P的坐標為．再由韋達定理可知點P可在圓內，圓上或圓外．
（3）假設存在滿足條件的實數m，由解得：．，，又．由此可知當m=3時，能使△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數．
解答：解：∵c₁：y²=4mx的右焦點F₂（m，0）
∴橢圓的半焦距c=m，又，
∴橢圓的長半軸的長a=2m，短半軸的長．
橢圓方程為．
（1）當m=1時，故橢圓方程為，（3分）
（2）依題意設直線l的方程為：x=ky+1，k∈R
聯立得點P的坐標為．
將x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0．
設A₁（x₁，y₁）、A₂（x₂，y₂），由韋達定理得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4．
又，．

=
=．
∵k∈R，于是的值可能小于零，等于零，大于零．
即點P可在圓內，圓上或圓外．（8分）
（3）假設存在滿足條件的實數m，
由解得：．
∴，，又．
即△PF₁F₂的邊長分別是、、．
∴m=3時，能使△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數．（14分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．