Question

已知橢圓（a＞b＞0）的焦點坐標(biāo)為，離心率為．直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得以PQ為直徑的圓過點D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由焦點坐標(biāo)可得c，由離心率可得a，由a²=b²+c²得b；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y，若存在以PQ為直徑的圓過點D（-1，0），則，即，根據(jù)向量數(shù)量積運算、韋達(dá)定理即可得關(guān)于k的方程，解出k檢驗是否滿足△＞0即可；
解答：解：（Ⅰ）由，，a²=b²+c²得，，b=1，
所以橢圓方程是：；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
將y=kx+2代入，整理得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*），
則，
以PQ為直徑的圓過D（-1，0），
則，即，
所以=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=x₁x₂+（x₁+x₂）+y₁y₂+1=（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=．            
解得，此時（*）方程△＞0，
所以存在，使得以PQ為直徑的圓過點D（-1，0）．
點評：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系等知識，考查轉(zhuǎn)化思想，解決（Ⅱ）問的關(guān)鍵是先假設(shè)存在，然后把問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0求解．