Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，求的值；

（3）當(dāng)時， 恒成立，求的值.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）；（3）.

【解析】試題分析： 求導(dǎo)，令，求出極值點，得到單調(diào)區(qū)間

由得到最小值，代入到，求出結(jié)果

令，求導(dǎo)算出最大值，再令，化簡為，結(jié)合和單調(diào)性求出結(jié)果；

解析：（1），令，得，

當(dāng)， ；當(dāng)， ，

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）由（1）知當(dāng)時取得最小值；

從而等價于；

又 ；即，

等價于；又因為（求導(dǎo)易證取等），

故，故只有，即；

（3）令， ，從而當(dāng)時， ，

，令，即；原問題轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)時， 恒成立；

若，由（1）知必有，由（2）知： ，

若，即，則由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，不合題意；

綜上， .