Question

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PC⊥平面ABCD，F(xiàn)是DC的中點，

AE

=2

EP

．
（Ⅰ）試判斷直線EF與平面PBC的位置關(guān)系，并予以證明；
（Ⅱ）若四棱錐P-ABCD體積為

8

3

，CD=2

2

PC=BC=2，求證：平面BDE⊥面PBC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線EF與平面PBC相交，過E作EG∥AB交PB于G，根據(jù)題中條件可得：FC≠EG，又因為FC∥AB，所以EG∥FC，進而得到兩條直線相交．，即可得到直線與平面相交．
（Ⅱ）過B作BH⊥CD于H，由四棱錐P-ABCD體積為

8

3

，結(jié)合題中的條件可得BH=

2

，所以CH=

2

，所以BH=CH=HD，所以DB⊥BC．再利用面面垂直的判定定理可得面面垂直．

解答：證明：（Ⅰ）直線EF與平面PBC相交．…（2分）
證明如下：過E作EG∥AB交PB于G，
∵

AE

=2

EP

，∴

PE

PA

=

1

3

，
∴EG=

1

3

AB，∵FC=

1

2

CD=

1

2

AB，
∴FC≠EG…（4分）
由底面ABCD是平行四邊形得FC∥AB，
∴EG∥FC…（5分）
∴EF與CG相交，
故直線EF與平面PBC相交．…（6分）
（Ⅱ）解：過B作BH⊥CD于H，
∵四棱錐P-ABCD體積為

8

3

，PC⊥平面ABCD，
∴

1

3

PC•DC•BH=

8

3

，PC⊥BD．
∴BH=

2

，…（9分）
∵BC=2∴CH=

2

，
∵CD=2

2

，
∴BH=CH=HD，
∴DB⊥BC．
∴DB⊥面PBC，…（11分）
∵BD?面BDE，
∴平面BDE⊥面PBC．…（12分）

點評：本題考查線面的位置關(guān)系與面面垂直的判定定理，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便利用有關(guān)定理進行證明與推理論證．