【題目】已知三棱錐中,為等腰直角三角形,,平面,且,且,分別為的中點.
(1)求證:直線平面;
(2)求銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)設的中點為,連接,通過證明四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;
(2)以為坐標原點,建立空間直角坐標系,分別求得兩個平面的法向量,由法向量的夾角與二面角平面角的關(guān)系,即可容易求得結(jié)果.
(1)設的中點為,連接,
則,,
又且,
且,
四邊形為平行四邊形,
,又平面,平面,
平面.即證.
(2)因為,且平面,
又平面,
故可得,
故以為坐標原點,分別為軸建立空間直角坐標系
如下圖所示:
令,
則,,,,,,
,,,
,,
,.
,平面,
平面的一個法向量為.
設平面的一個法向量為,
則由,即
令,則,,,
,
由圖知二面角為銳角,
二面角的余弦值為.
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【題目】過軸正半軸上一點做直線與拋物線交于,,兩點,且滿足,過定點與點做直線與拋物線交于另一點,過點與點做直線與拋物線交于另一點.設三角形的面積為,三角形的面積為.
(1)求正實數(shù)的取值范圍;
(2)連接,兩點,設直線的斜率為;
(。┊時,直線在軸的縱截距范圍為,則求的取值范圍;
(ⅱ)當實數(shù)在(1)取到的范圍內(nèi)取值時,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新高考取消文理科,實行“3+3”,成績由語文、數(shù)學、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對新高考的了解情況,隨機調(diào)查50人(把年齡在[15,45)稱為中青年,年齡在[45,75)稱為中老年),并把調(diào)查結(jié)果制成如表:
(1)請根據(jù)上表完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為對新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?
附:K2.
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中老年人中抽取8人,再從這8人中隨機抽取2人進行深入調(diào)查,求事件A:“恰有一人年齡在[45,55)”發(fā)生的概率.
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【題目】已知點,點A是直線上的動點,過作直線,,線段的垂直平分線與交于點.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)若點,是直線上兩個不同的點,且的內(nèi)切圓方程為,直線的斜率為,求的取值范圍.
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【題目】若無窮數(shù)列滿足:存在,對任意的,都有(為常數(shù)),則稱具有性質(zhì)
(1)若無窮數(shù)列具有性質(zhì),且,求的值
(2)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,,,,判斷是否具有性質(zhì),并說明理由.
(3)設無窮數(shù)列既具有性質(zhì),又具有性質(zhì),其中互質(zhì),求證:數(shù)列具有性質(zhì)
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【題目】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是 ( )
A. 各月的平均最低氣溫都在0℃以上
B. 七月的平均溫差比一月的平均溫差大
C. 三月和十一月的平均最高氣溫基本相同
D. 平均最高氣溫高于20℃的月份有5個
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年末,武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒(肺炎疫情,并快速席卷我國其他地區(qū),傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株,目前沒有特異治療方法.防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早,感染人員最多,防控壓力最大,武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員,強化網(wǎng)格化管理,不落一戶、不漏一人.在排查期間,某社區(qū)將本社區(qū)的排查工作人員分為,兩個小組,排查工作期間社區(qū)隨機抽取了100戶已排查戶,進行了對排查工作態(tài)度是否滿意的電話調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計后,得到如下的列聯(lián)表.
是否滿意 組別 | 不滿意 | 滿意 | 合計 |
組 | 16 | 34 | 50 |
組 | 2 | 45 | 50 |
合計 | 21 | 79 | 100 |
(1)分別估計社區(qū)居民對組、組兩個排查組的工作態(tài)度滿意的概率;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),能否有的把握認為“對社區(qū)排查工作態(tài)度滿意”與“排查工作組別”有關(guān)?
附表:
附:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù);
(2)記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為、,求證:.
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