Question

12．（1）已知 f（x）=|x+2|+|x-4|的最小值是n，則二項式 （x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中x²項的系數(shù)為多少．
（2）某校高三年級從2名教師和4名學生中選出3人，分別組建成不同的兩支球隊進行雙循環(huán)師生友誼賽．要求每支球隊中有且只有一名教師，則不同的比賽方案共有幾種．

Answer 1

分析 （1）由跳進利用絕對值三角不等式求得n=6，先求得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，即可求得含x²的項的系數(shù)．
（2）先把2名教師分組，再把4名學生分組，再利用分步計數(shù)原理求得求得不同的比賽方案種數(shù)．

解答 解：（1）∵f（x）=|x+2|+|x-4|≥|x+2-（x-4）|=6，
當且僅當-2≤x≤6時．取等號，故f（x）的最小值為6，故n=6，
則二項式 （x-$\frac{1}{x}$）⁶展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•x^6-2r，
令6-2r=2，求得r=2，故展開式中x²項的系數(shù)為${C}_{6}^{2}$=15．
（2）把2名教師分成兩組，只有一種方法，再把4名學生平均分成2組，方法有${C}_{4}^{2}$=6種方法，
由于兩支球隊進行雙循環(huán)師生友誼賽所有的比賽方法，故所有的比賽方法有${C}_{2}^{1}$•1•${C}_{4}^{2}$=12種．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式．還考查了排列組合的基本知識，屬中檔題．