Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（m+3）x²-4mx+2m-1，x∈R．
（I）若方程f（x）=0的兩根異號(hào)，且負(fù)根的絕對(duì)值比正根大，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）解不等式f（x）＜（m+2）x²-2mx．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得

m+3≠0 △=16m2-4(m+3)(2m-1)＞0 x1+x2= 4m m+3 ＜0 x1•x2= 2m-1 m+3 ＜0

，由此求得m的范圍．
（Ⅱ）不等式即[x-（2m-1）]•（x-1）＜0．再分當(dāng)m＞1時(shí)、當(dāng)m=1時(shí)、當(dāng)m＜1時(shí)三種情況，分別求得不等式的解集．

解答： 解：（I）由）=（m+3）x²-4mx+2m-1，方程f（x）=0的兩根異號(hào)，且負(fù)根的絕對(duì)值比正根大，
可得

m+3≠0 △=16m2-4(m+3)(2m-1)＞0 x1+x2= 4m m+3 ＜0 x1•x2= 2m-1 m+3 ＜0

，即

m≠-3 m＞ 3 2 或m＜1 -3＜m＜0 -3＜m＜ 1 2

，由此求得-3＜m＜0，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-3，0）．
（Ⅱ）不等式f（x）＜（m+2）x²-2mx，即 x²-2mx-1＜0，
即[x-（2m-1）]•（x-1）＜0．
當(dāng)m＞1時(shí)，2m-1＞1，不等式的解集為{x|1＜x＜2m-1}；
當(dāng)m=1時(shí)，2m-1=1，不等式的解集為∅；
當(dāng)m＜1時(shí)，2m-1＜1，不等式的解集為{x|2m-1＜x＜1}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．