Question

（2013•天津模擬）設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足

BF1

=

F1F2

，且AB⊥AF₂．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線x-

3

y-3=0相切，求橢圓C的方程；                      
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，若點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（0，b），由

BF1

=

F1F2

知F₁為BF₂的中點，由AB⊥AF₂，知Rt△ABF₂中，BF₂²=AB²+AF₂²(4c)2=(

9c2+b2

)2+a2，由此能求出橢圓的離心率．
（Ⅱ）由

c

a

=

1

2

，知c=

1

2

a，F2(

1

2

a，0)，B(-

3

2

a，0)，Rt△ABF₂的外接圓圓心為（-

1

2

，0），半徑r=a，所以

|- 1 2 a-3|

2

=a，由此能求出橢圓方程．
（Ⅲ）由F₂（1，0），l：y=k（x-1），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（0，b）
∵

BF1

=

F1F2

知F₁為BF₂的中點，
AB⊥AF₂
∴Rt△ABF₂中，BF₂²=AB²+AF₂²(4c)2=(

9c2+b2

)2+a2，
又a²=b²+c²
∴a=2c
故橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

c

a

=

1

2

得c=

1

2

a，
于是F2(

1

2

a，0)，B(-

3

2

a，0)，
Rt△ABF₂的外接圓圓心為（-

1

2

a，0），半徑r=a，
所以

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，
∴c=1，b=

3

，
所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）…（8分）

PM

+

PN

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=(x1+x2-2m，y1+y2)
由于菱形對角線垂直，
則(

PM

+

PN

)•

MN

=0
故x₁+x₂-2m+k（y₁+y₂）=0
即x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂-2）=0，

8k2

3+4k2

-2m+k2(

8k2

3+4k2

-2)=0…（10分）
由已知條件知k≠0，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

∴0＜m＜

1

4

故m的取值范圍是0＜m＜

1

4

．…（12分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．