Question

橢圓中心是原點O，它的短軸長為2

2

，右焦點F（c，0）（c＞0），它的長軸長為2a（a＞c＞0），直線l：x=

a2

c

與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率；
（Ⅱ）若

OP

•

OQ

=0，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）設(shè)

AP

=λ

AQ

 （λ＞1），過點P且平行于直線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明：

FM

=-λ

FQ

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由條件|OF|=2|FA|列式，求出橢圓的離心率，然后結(jié)合短軸長2b=2

2

及a²=b²+c²可求a²，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）寫出過點A的直線方程，設(shè)出直線與橢圓相交于P、Q兩點的坐標，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后求出P、Q兩點的橫坐標的和與積，由

OP

•

OQ

=0，得到P、Q兩點的坐標的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為橫坐標的關(guān)系后，把前面得到的和與積的表達式代入即可求出直線的斜率，則直線方程可求；
（Ⅲ）由向量的坐標表示寫出

AP

，

AQ

，再由

AP

=λ

AQ

 （λ＞1）及P，Q兩點的坐標都適合橢圓方程列式找出P，Q兩點的坐標與λ的關(guān)系，最后把要證的等式的兩邊的坐標都用λ和縱坐標表示即可得證．

解答：解：如圖，
（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)．
由|OF|=2|FA|，得c=2（

a2

c

-c），整理得：3c²=2a²，∴e=

c

a

=

6

3

．
聯(lián)立

3c2=2a2 b= 2 a2=b2+c2

，解得：a²=6，b²=2．
∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1，離心率e=

6

3

．
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率顯然存在，設(shè)其斜率為k（k≠0），且A（3，0）．
則直線l的方程為y=k（x-3），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x-3) x2 6 + y2 2 =1

，得：（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．
由△=（-18k²）²-4（1+3k²）（27k²-6）=12（2-3k²）＞0，得：-

6

3

＜k＜

6

3

．
x1+x2=

18k2

3k2+1

，x1x2=

27k2-6

3k2+1

．
由

OP

•

OQ

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0．
即x₁x₂+（kx₁-3k）（kx₂-3k）=(k2+1)x1x2-3k2(x1+x2)+9k2
=(k2+1)•

27k2-6

3k2+1

-3k2•

18k2

3k2+1

+9k2=0．
化簡得：k2=

1

5

，∴k=±

5

5

，滿足-

6

3

＜k＜

6

3

．
（Ⅲ）

AP

=(x1-3，y1)，

AQ

=(x2-3，y2)，
由已知得方程組

x1-3=λ(x2-3) y1=λy2 x12 6 + y12 2 =1 x22 6 + y22 2 =1

，解得：x2=

5λ-1

2λ

．
∵F（2，0），M（x₁，-y₁）．
故

FM

=(x1-2，-y1)=（λ（x₂-3）+1，-y₁）
=(

1-λ

2

，-y1)=-λ(

λ-1

2

，y2)．
而

FQ

=(x2-2，y2)=(

λ-1

2λ

，y2)．
∴

FM

=-λ

FQ

．

點評：本題考查了橢圓標準方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，解答此類問題的關(guān)鍵是，常常采用設(shè)而不求的方法，即設(shè)出直線與圓錐曲線交點的坐標，解答時不求坐標，而是運用根與系數(shù)關(guān)系求出兩個點的橫坐標的和與積，然后結(jié)合已知條件整體代入求解問題，此題還應(yīng)注意的是要保證直線和橢圓交點的存在性，此題是難題．