Question

已知下列四個(gè)命題：真命題為（　�。�
p₁：?x₀∈R，使得x₀²=x₀-1；     
p₂：?x∈（0，

π

2

），都有sinx＜x；
p₃：?x∈R，都有2^x＞x²；         
p₄：?x₀∈R，使得lnx₀²≥x₀-1．

• A、p₂，p₄
• B、p₁，p₄
• C、p₂，p₃
• D、p₁，p₃

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)方程x²=x-1無(wú)解，可判斷p₁；利用單位圓分析sinx與x的大小，可以判斷p₂；舉出反例x=-2，可判斷p₃；舉出反例x=2可判斷p₄；

解答： 解：∵方程x²=x-1無(wú)解，故p₁：?x₀∈R，使得x₀²=x₀-1，為假命題；     
在如下圖所示的單位圓中，

當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，有向線段MP的長(zhǎng)度小于弧AP的長(zhǎng)度，
即sinx＜x恒成立，
故p₂：?x∈（0，

π

2

），都有sinx＜x中，為真命題；
當(dāng)x=-2時(shí)，2^x＜x²，故p₃：?x∈R，都有2^x＞x²，為假命題；          
當(dāng)x=2時(shí)，ln2²≥2-1=1成立，故p₄：?x₀∈R，使得lnx₀²≥x₀-1，為真命題；
故正確的命題有p₂，p₄，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查全稱命題和特稱命題的真假判斷，難度較大，屬于難題．