Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=a²ⁿ-1（a≠0，±1，n∈N*），試判斷{a_n}是否為等比數(shù)列，為什么？

Answer 1

分析 根據(jù)題意和${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求出a_n，再化簡(jiǎn)$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$后，利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，理由如下：
由題意知，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=a²ⁿ-1（a≠0，±1，n∈N*），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=a²-1≠0，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（a²ⁿ-1）-[a^2（n-1）-1]
=a²ⁿ-a^2n-2=（a²-1）•a^2n-2=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}•{a}^{2n}$，
當(dāng)n=1時(shí)，也滿足上式，所以${a}_{n}=\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}•{a}^{2n}$，
則$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}^{2n+2}}{{a}^{2n}}$=a²≠0，
所以數(shù)列{a_n}是以a²為公比、（a²-1）為首項(xiàng)的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明方法：定義法，以及關(guān)系式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的應(yīng)用，屬于中檔題．