Question

在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽槎嗌贂r(shí)，它的面積最大？

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)高為h，底為2x，得到a和h的關(guān)系，進(jìn)而求得三角形面積的表達(dá)式，對面積的解析式求導(dǎo)，然后令S′=0，即可求得h．三角形面積最大．

解答： 解：如圖，設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長為2x，高為h，那么
h=AO+DO=R+

R2-x2

，
解得x²=h（2R-h），于是內(nèi)接三角形的面積為：S=x•h=

h(2R-h)

•h=

(2Rh3-h4)

，
從而S′=

1

2

(2Rh3-h4)-

1

2

(2Rh3-h4)′=

1

2

(2Rh3-h4)-

1

2

(6Rh2-4h2)=

h2(3R-2h)

(2R-h)h3

，
令S′=0，解得h=

3

2

R，由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間（0，2R）上列表示如下：

h	(0， 3 2 R)	3 2 R	( 3 2 R，2R)
S′	+	0	-
S	增函數(shù)	最大值	減函數(shù)

由此表可知，當(dāng)h=

3

2

R時(shí)，等腰三角形的面積最大

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)取最值時(shí)，h的值．