Question

一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球和黑球共12個(gè)，已知從袋中任取2個(gè)球，得到2個(gè)都是黑球的概率為

1

22

．
（1）求這個(gè)口袋中原裝有紅球和黑球各幾個(gè)；
（2）從原袋中任取3個(gè)球，求取出的3個(gè)球中恰有1個(gè)黑球的概率及至少有1個(gè)黑球的概率．

Answer 1

分析：（1）設(shè)袋中裝有x個(gè)黑球，12-x個(gè)紅球，由題意，由等可能事件的概率可得

C 2 x

C 2 12

=

1

22

，解可得x的值，即可得答案；
（2）由組合數(shù)公式可得從原袋中任取3個(gè)球以及取出3個(gè)球中恰有一個(gè)黑球的情況數(shù)目，由等可能事件的概率公式計(jì)算可得答案，由組合數(shù)公式取出3個(gè)球都是紅球的情況數(shù)目，即可得其概率，進(jìn)而由對(duì)立事件的概率性質(zhì)計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）設(shè)袋中裝有x個(gè)黑球，12-x個(gè)紅球，
則從中任取2個(gè)球，有C₁₂²種情況，而取出的全是黑球有C_x²種情況，
由題意，可得

C 2 x

C 2 12

=

1

22

，解可得，x=3，
∴原袋中裝有3個(gè)黑球，9個(gè)紅球．
（2）從原袋中任取3個(gè)球，有C₁₂³種情況，
取出3個(gè)球中恰有一個(gè)黑球即2紅1黑的情況有C₉²×C₃¹種，則其概率P₁=

C 2 9 C 1 3

C 3 12

=

27

55

，
取出3個(gè)球都是紅球的情況有C₉³種，則其概率P₂=

C 3 9

C 3 12

=

21

55

，
所以至少有1個(gè)黑球的概率P=1-P₂=

34

55

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率計(jì)算，關(guān)鍵要熟練運(yùn)用組合數(shù)公式，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理求出事件包含的情況數(shù)目．