【題目】如圖，在正四面體ABCD中， 是的中心， 分別是上的動點，且．

（1）若平面，求實數(shù)的值；

（2）若，正四面體ABCD的棱長為，求平面和平面所成的角余弦值．

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問主要考查線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用，若平面，那么經(jīng)過OE的平面與平面ACD相交，則OE平行于交線，因此需要找到經(jīng)過OE的平面，由是正的中心，易知O為BC的三等分點，因此能確定E點位置；（2）本問主要考查用空間向量求二面角問題，當(dāng)時，點分別是的中點，以O為原點，過O作CD的垂線為x軸，過O作BC的垂線為y軸，OA為z軸，建立空間直角直角坐標系，則易得出下列各點坐標, ,由此求出相關(guān)向量的坐標,再分別求出平面和平面的法向量，根據(jù)兩個平面的法向量可以求夾角的余弦，再由圖觀察向量成角的余弦與二面角余弦之間的關(guān)系即可.

試題解析：（1）取的中點，連接,

∵是正的中心 ∴點在上，且，

∵當(dāng)時，平面 ,

∴∴,即,

∴.

（2）當(dāng)時，點分別是的中點.

建立如圖所示的空間直角坐標系，依題設(shè)

，則, ,

則,

設(shè)平面的法向量為則,

∴,

不妨令，則，

又平面的一個法向量為.

設(shè)所求二面角為，則.

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【題目】給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；

（2）點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點.

①當(dāng)點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明；

②求證：線段的長為定值.

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①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；

②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；

③直線AB與a所稱角的最小值為45°；

④直線AB與a所稱角的最小值為60°；

其中正確的是________。（填寫所有正確結(jié)論的編號）

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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入S的值為﹣1，則輸出S的值為（ ）

A.﹣1
B.
C.2
D.3

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（1）若（ +k ）∥（2 ﹣ ），求實數(shù)k；
（2）設(shè) =（x，y）滿足（ ﹣ ）∥（ + ）且| ﹣ |=1，求 ．

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【題目】通過對某城市一天內(nèi)單次租用共享自行車的時間分鐘到鐘的人進行統(tǒng)計，按照租車時間， ， ， ， 分組做出頻率分布直方圖，并作出租用時間和莖葉圖（圖中僅列出了時間在， 的數(shù)據(jù)）．

（1）求的頻率分布直方圖中的；

（2）從租用時間在分鐘以上（含分鐘）的人數(shù)中隨機抽取人，設(shè)隨機變量表示所抽取的人租用時間在內(nèi)的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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（1）若α∈（﹣π，0），且| |=| |，求角α的大��；
（2）若 ⊥ ，求 的值．

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