設(shè)函數(shù)h（x）=x|x|+mx+n給出下列四個命題：
①當m=0時，h（x）=0只有一個實數(shù)根；
②當n=0時，y=h（x）為偶函數(shù)；
③函數(shù)y=h（x）圖象關(guān)于點（0，n）對稱；
④當m≠0，n≠0時，方程h（x）=0有兩個不等實根．
上述命題中，所有正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】分析：①可根據(jù)h（x）在R上單調(diào)性和值域確定h（x）=0只有一個實數(shù)根正確；
②當n=0時，h（x）=x|x|+mx，再由函數(shù)奇偶性的定義可判斷為奇函數(shù)；
③分別表示出h（x）與h（-x），然后相加得到h（x）+h（-x）=x|x|+mx+n+（-x|-x|-mx+n）=2n，即可得到函數(shù)y=h（x）圖象關(guān)于點（0，n）對稱，從而看判斷正誤；
④令m＞0，n＞0，然后畫出函數(shù)h（x）的圖象可判斷方程h（x）=0有兩個不等實根不正確．
解答：解：當m=0時，h（x）=函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增，且值域為R，
故h（x）=0只有一個實數(shù)根正確，即①正確；
當n=0時，函數(shù)h（x）=x|x|+mx+n=x|x|+mx，所以h（-x）=-x|-x|-mx=-h（x）
∴函數(shù)h（x）為奇函數(shù)，②不正確；
∵h（x）=x|x|+mx+n，h（-x）=-x|-x|-mx+n
∴h（x）+h（-x）=x|x|+mx+n+（-x|-x|-mx+n）=2n
∴函數(shù)y=h（x）圖象關(guān)于點（0，n）對稱，故③正確；
當m＞0，n＞0時，h（x）=2+mx+n，x≥0-x2+mx+n，x＜0，圖象如圖
h（x）=0只有1個實根，④不正確．
故選C．
點評：本土主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查二次函數(shù)的根的個數(shù)的判定和對稱性．
練習冊系列答案
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x2．
（1）記h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
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（2）求證：f（n，1）+f（n，2）+…+f（n，n）=22n-1+
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C2nn-1；
（3）設(shè)函數(shù)H（x）=f（n，1）x+f（n，2）x2+…+f（n，2n）x2n，試比較H（x）-H（a）與2n（1+a）2n-1（x-a）的大�。�

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（1）求函數(shù)F（x）=h（x）-φ（x）的極值；
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