已知數(shù)列{an}滿足：an=
n(n=2k-1)
ak(n=2k)
，其中k∈N．記{an}的前n項(xiàng)和為Sn定義數(shù)列{bn}滿足：bn=S2n．
（I）求S10的值；
（Ⅱ）證明：
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜1（n∈N）．
分析：（I）因?yàn)閍n=
n(n=2k-1)
ak(n=2k)
，寫出數(shù)列{an}前10項(xiàng)得到S10=36．
（II）因?yàn)閎n=S2n=（a2+a4+…+a2n）+（a1+a3+…+a2n-1）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)為bn=bn-1+4n-1，利用逐差相加法求出bn=
4n+2
3
得到
1
bn
=
3
4n+2
＜
3
4n
，通過(guò)放縮法得到
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜1（n∈N）．
解答：解：（I）因?yàn)閍n=
n(n=2k-1)
ak(n=2k)
，
所以前10項(xiàng)分別為1，1，3，1，5，3，7，1，9，5
所以S10=36
（II）bn=S2n=（a2+a4+…+a2n）+（a1+a3+…+a2n-1）
=（a1+a2+a3+…+a2n-1）+4n-1
即bn=bn-1+4n-1
即bn-bn-1=4n-1
∴b2-b1=4
b3-b2=42
…
bn-bn-1=4n-1
相加得bn-b1=
4n-4
3

∴bn=
4n+2
3

1
bn
=
3
4n+2
＜
3
4n

∴
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜
3
4
+
3
42
+…+
3
4n
= 1-(
1
4
)n ＜1
點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，應(yīng)該先求出數(shù)列的通項(xiàng)，然后根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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