Question

設(shè)A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}．
（1）若A∪B=B，求a的取值范圍；
（2）若B?A，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：集合

分析：（1）由已知得A⊆B，從而集合B中只含兩個(gè)元素，B=A，由此能求出a的值．
（2）當(dāng)B⊆A時(shí)，A={0，-4}，解得a≤-1或a=1，由此能求出當(dāng)B?A時(shí)，a的取值范圍是{a|a＞-1且a≠1}．

解答： 解：（1）∵A={x|x²+4x≤0}={x|-4≤x≤0}，
B={x|x²+2（a+1）x+a²-1≤0}．
A∪B=B，∴A⊆B，
∴集合B中至少有兩個(gè)元素，①
而方程x²+2（a+1）x+a²-1=0至多有兩個(gè)實(shí)根
∴集合B中至多有兩個(gè)元素，②，
∴由①、②得集合B中只含兩個(gè)元素，∴B=A，
當(dāng)a=1時(shí)，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0，x²+4x=0，
此時(shí)B=A符合條件．
故所求a的值為a=1．
（2）當(dāng)B⊆A時(shí)，A={0，-4}，
①若B=∅，則x²+2（a+1）x+a²-1=0，△＜0，
于是，4[（a+1）²-（a²-1）]＜0，∴a＜-1；
②若B={0}，把x=0代入方程得a=±1；
當(dāng)a=1時(shí)，B={0，-4}≠{0}，∴a≠1；
當(dāng)a=-1時(shí)，B={0}，∴a=-1；
③若B={-4}，把x=-4代入得a=1或a=7；
當(dāng)a=1時(shí)，B={0，-4}≠{-4}，∴a≠1；
當(dāng)a=7時(shí)，B={-4，-12}≠{-4}，∴a≠7；
④若B={0，-4}，則a=1；
當(dāng)a=1時(shí)，B={0，-4}，∴a=1；
綜上所述：a≤-1或a=1．
∴當(dāng)B?A時(shí)，a的取值范圍是{a|a＞-1且a≠1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．