Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+a-3．
（1）求證：函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)大于1，另一個(gè)零點(diǎn)小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系，只要判別式大于0即可；
（2）由已知可得函數(shù)f（x）=x²+ax+a-3的零點(diǎn)位于（-∞，1），（1，+∞）上，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得系數(shù)a需滿(mǎn)足的不等式，即可解得a的范圍．

解答： （1）證明：判別式△=a²-4（a-3）=a²-4a+12=（a-2）²+8＞0，所以函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）解：函數(shù)f（x）為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，
∵函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)大于1，另一個(gè)零點(diǎn)小于1，
∴f（1）＜0，即1+a+a-3＜0，解得a＜1；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題；根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)一致，明確二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合解答．