Question

【題目】如圖，在四棱錐 中， 、 、 均為等邊三角形， .

（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求直線 與平面 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)因為 ， ， 為公共邊，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，且 為 中點.
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，結合 ，
可得 ，
所以 ，
即 ，又 ，
故 平面 ，又 平面 ，所以 .
又 ，所以 平面 .
(Ⅱ)以 為原點，建立空間直角坐標系 如圖所示，

不妨設 ，易得 ， ，
則 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
設平面 的法向量為 ，則
，即 ，解得 ，
令 得 ，
設直線 與平面 所成角為 ，則
，
所以 與平面 所成角的正弦值為
【解析】（Ⅰ）根據題目中所給的條件的特點，由△ABD和△CBD相似，可得∠ABD=∠CBD，AC⊥BD，即可得PO⊥AC，即PO⊥OB，又PO⊥BD．最后利用線面垂直的判定即可證得結論．
（Ⅱ）根據題意，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，求出平面PBC的法向量，利用向量夾角公式求解即可．