Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*），其前n項(xiàng)和為S_n，給出下列四個(gè)命題：
①若{a_n}是等差數(shù)列，則三點(diǎn)(10，

S10

10

)、(100，

S100

100

)、(110，

S110

110

)共線；
②若{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，則S₁、S₂、…、S_n這n個(gè)數(shù)中必然存在一個(gè)最大者；
③若{a_n}是等比數(shù)列，則S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比數(shù)列；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常數(shù)a₁q≠0），則{a_n}是等比數(shù)列．
其中正確命題的序號(hào)是

①④

．（將你認(rèn)為的正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：①利用第1和2點(diǎn)的坐標(biāo)表示出確定直線的斜率，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)得到直線的斜率；然后再利用第3和2點(diǎn)的坐標(biāo)表示出確定直線的斜率，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)得到直線的斜率，判斷求得的斜率相等與否，即可得到三點(diǎn)共線與否；
②若{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，求出數(shù)列的公差，即可判斷S₁、S₂、…、S_n這n個(gè)數(shù)中是否存在一個(gè)最大者；
③若{a_n}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）即可判斷是否是等比數(shù)列；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常數(shù)a₁q≠0），轉(zhuǎn)化為數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可判斷{a_n}是不是等比數(shù)列．

解答：解：①因?yàn)?span id="dfrp5x5" class="MathJye">

S10

10

=

10a1+ 10×9 2 d

10

=a₁+

9

2

d，同理

S100

100

=a₁+

99

2

d，

S110

110

=a₁+

109

2

d，
則

S100 100 - S10 10

100-10

=

(a1+ 99 2 d)-(a1+ 9 2 d)

90

=

d

2

=

S110 110 - S100 100

110-100

=

(a1+ 109 2 d)-(a1+ 99 2 d)

10

=

d

2

，
所以三點(diǎn)(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共線．此選項(xiàng)正確；
②若{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，所以a₁+2d+a₁+6d=-6，解得d=2，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，則S₁、S₂、…、S_n這n個(gè)數(shù)中不存在一個(gè)最大者；②不正確；
③若{a_n}是等比數(shù)列，則S_m=

a1(1-qm)

1-q

；
S_2m-S_m=

a1(1-q2m)

1-q

-

a1(1-qm)

1-q

=

a1(qm-q2m)

1-q

；
S_3m-S_2m=

a1(1-q3m)

1-q

-

a1(1-q2m)

1-q

=

a1(q2m-q3m)

1-q

；
因?yàn)?span id="5bpfnxt" class="MathJye">[

a1(qm-q2m)

1-q

]2=

a1(1-qm)

1-q

•

a1(q2m-q3m)

1-q

，
所以S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比數(shù)列，
當(dāng)公比q=-1，且m為偶數(shù)時(shí)，該命題錯(cuò)誤．
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常數(shù)a₁q≠0），如果數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則S_n+a_n+1=a₁+qS_n∴S_n（1-q）=a₁-a_n+1=a₁（1-qⁿ），顯然數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，通過(guò)對(duì)數(shù)列的研究，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣．