Question

已知圓C通過不同的三點P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1），PQ為直徑且PC的斜率為-1．
（1）試求⊙C的方程；
（2）過原點O作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，l₁交⊙C于E，F(xiàn)兩點，l₂交⊙C于G，H兩點，求四邊形EGFH面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先設出圓的一般方程，表示出圓心坐標即可表示出CP的斜率等于-1列出④，然后分別把Q和R點的坐標代入圓的方程得到①和②，根據(jù)PQ為直徑，利用中點坐標公式得到③，聯(lián)立①②③④即可求出D、E、F得到⊙C的方程；
（2）設圓心到l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，根據(jù)垂徑定理求出距離的平方和及勾股定理得到EF²+GH²=74≥2EF•GH，而因為四邊形的對角線互相垂直得四邊形的面積S=

1

2

EF•GH，代入即可求出面積的最大值．

解答：解：（1）設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則C點的坐標為（-

D

2

，-

E

2

），且PC的斜率為-1，
因為圓C通過不同的三點P（m，0），Q（2，0），R（0，1）
所以有

1+E+F=0 4+2D+F=0 - D 2 = 2+m 2 - E 2 -0 - D 2 -m =-1

解之得

D=1 E=5 F=-6 m=-3

所以圓C的方程為x²+y²+x+5y-6=0，．
（2）圓心C(-

1

2

，-

5

2

)，設圓心到l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，
則d12+d22=OC2=

13

2

，
又(

EF

2

)2+d12=R2，(

GH

2

)2+d22=R2，
兩式相加，得：EF²+GH²=37≥2EF•GH，
∴S=

1

2

EF•GH≤

37

2

，即（S_{四邊形EFGH}）_max=

37

4

．

點評：考查學生會根據(jù)條件求圓的一般方程，靈活運用垂徑定理及勾股定理解決實際問題，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值．掌握四邊形對角線垂直時面積等于對角線乘積的一半．以及會利用基本不等式求函數(shù)的最值．