已知圓C通過(guò)不同的三點(diǎn)P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),PQ為直徑且PC的斜率為-1.
(1)試求⊙C的方程;
(2)過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線l1,l2,l1交⊙C于E,F(xiàn)兩點(diǎn),l2交⊙C于G,H兩點(diǎn),求四邊形EGFH面積的最大值.
分析:(1)先設(shè)出圓的一般方程,表示出圓心坐標(biāo)即可表示出CP的斜率等于-1列出④,然后分別把Q和R點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程得到①和②,根據(jù)PQ為直徑,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到③,聯(lián)立①②③④即可求出D、E、F得到⊙C的方程;
(2)設(shè)圓心到l1,l2的距離分別為d1,d2,根據(jù)垂徑定理求出距離的平方和及勾股定理得到EF2+GH2=74≥2EF•GH,而因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角線互相垂直得四邊形的面積S=
1
2
EF•GH,代入即可求出面積的最大值.
解答:解:(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-
D
2
,-
E
2
),且PC的斜率為-1,
因?yàn)閳AC通過(guò)不同的三點(diǎn)P(m,0),Q(2,0),R(0,1)
所以有
1+E+F=0
4+2D+F=0
-
D
2
=
2+m
2
-
E
2
-0
-
D
2
-m
=-1
解之得
D=1
E=5
F=-6
m=-3

所以圓C的方程為x2+y2+x+5y-6=0,.
(2)圓心C(-
1
2
,-
5
2
)
,設(shè)圓心到l1,l2的距離分別為d1,d2
d12+d22=OC2=
13
2
,
(
EF
2
)2+d12=R2
(
GH
2
)2+d22=R2
,
兩式相加,得:EF2+GH2=37≥2EF•GH,
S=
1
2
EF•GH≤
37
2
,即(S四邊形EFGHmax=
37
4
點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生會(huì)根據(jù)條件求圓的一般方程,靈活運(yùn)用垂徑定理及勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題,靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值.掌握四邊形對(duì)角線垂直時(shí)面積等于對(duì)角線乘積的一半.以及會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值.
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