（本小題滿分13分）

    數(shù)列滿足.

（Ⅰ）計(jì)算，并由此猜想通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）中的猜想.

 

【答案】

（Ⅰ）..，.  

（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】（I），分別令n=1,依次可求出.

(II) 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，（1）要先驗(yàn)證n=1時(shí)，成立.

（2）要先假設(shè)n=k時(shí)，成立，再證明n=k+1時(shí)，也成立，但必須要用到n=k時(shí)的歸納假設(shè)否則證明無(wú)效.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以.

當(dāng)時(shí)，，所以.

同理：，.………3分

由此猜想     …………………………………………………5分

 

（Ⅱ）證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，結(jié)論成立.

    ②假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即，………6分

那么時(shí)，

，…8分

 

所以，

所以，

    這表明時(shí)，結(jié)論成立.

    由①②知對(duì)一切猜想成立.       ……………………………13分

 

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