Question

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）當(dāng)λ=時(shí)，數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列，若存在，請(qǐng)求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0①
1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0②
由②-①得（1+λ）a_n+1-λa_n+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N^*，
∴，
故數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列…（3分）
將n=1代入①式，
∴n≥2時(shí)，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)…（6分）
（2）∵，
∴
∵假設(shè)存在任意三項(xiàng)a_m，a_k，a_p成等差數(shù)列
①不妨設(shè)當(dāng)m＞k＞p≥2，
∵當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，
∴2a_k=a_m+a_p，
∴，
∴2•4^k-p=4^m-p+1，
由上式知：左邊=偶數(shù)≠右邊=奇數(shù)，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列．…（9分）
②假設(shè)存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)中包含a₁時(shí)
不妨設(shè)m=1，k＞p≥2且a_k＞a_p，
∵當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＞a₁，
∴2a_p=a₁+a_k，
∴，
∴2•4^p-2=-2+4^k-2，
∴2^（2p-3）=2^2（k-2）-2，
∵k＞p≥2，
∴當(dāng)且僅當(dāng)k=3，p=2時(shí)成立，
∴數(shù)列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差數(shù)列．…（12分）
分析：（1）由題意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0，則1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0，故（1+λ）a_n+1-λa_n+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N^*，所以，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由，知，假設(shè)存在任意三項(xiàng)a_m，a_k，a_p成等差數(shù)列．由此入手能夠?qū)С鰯?shù)列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，探索數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．