Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分別是PA，BC的中點，且PD=AD=1．
（1）求證：MN∥平面PCD；
（2）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）取PB中點Q，連接MQ、NQ，利用三角形的中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理，可得MQ∥平面PCD，同理NQ∥平面PCD，從而得到平面MNQ∥平面PCD，最后用面面平行的性質(zhì)，可得MN∥平面PCD；
（2）根據(jù)題意，不難得到三棱錐P-ABC的底面積為

1

2

，高PD=1，利用錐體體積公式可得三棱錐P-ABC的體積．

解答：解：（1）取PB中點Q，連接MQ、NQ
∵△PBA中，M、Q分別為PA、PB的中點，
∴MQ∥AB，結(jié)合AB∥CD得MQ∥CD
∵MQ?平面PCD，CD⊆平面PCD，
∴MQ∥平面PCD，同理可得NQ∥平面PCD，
∵MQ、NQ是平面MNQ內(nèi)的相交直線
∴平面MNQ∥平面PCD，
∵NM⊆平面MNQ
∴MN∥平面PCD；
（2）∵正方形ABCD的邊長等于1
∴三角形ACB的面積為S_△ABC=

1

2

S_ABCD=

1

2

．
又∵PD⊥底面ABCD，且PD=1，
∴三棱錐P-ABC的高為1，因此三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S_△ABC•PD=

1

6

．

點評：本題以一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為例，考查了線面平行的判定、面面平行的性質(zhì)和錐體體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．