Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，PB=PD，平面BDE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：PC⊥平面ABCD；
（Ⅲ）設(shè)PC=λAB，試判斷平面PAD⊥平面PAB能否成立；若成立，寫(xiě)出λ的一個(gè)值（只需寫(xiě)出結(jié)論）．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，

因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，

所以EO是的△PAC中位線，所以EO∥PC

因?yàn)镋O平面BDE，PC平面BDE，

所以PC∥平面BDE．

（Ⅱ）證法一：在△PAB和△PAD中，

因?yàn)锳B=AD，PB=PD，PA=PA，

所以△PAB≌△PAD，又點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，

所以EB=ED，所以EO⊥BD，

因?yàn)槠矫鍮DE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD=BD，EO平面BDE

所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥AC，EO⊥BD，

因?yàn)镋O∥PC，所以PC⊥AC，PC⊥BD，又AC∩BD=O

所以PC⊥平面ABCD．

證法二：連接PO，

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，

所以O(shè)是BD的中點(diǎn)，BD⊥AC，又PB=PD，所以PO⊥BD，

又PO∩AC=O，PO平面PAC，AC平面PAC

所以BD⊥平面PAC

又OE平面PAC，所以BD⊥OE，

因?yàn)槠矫鍮DE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD=BD，EO平面BDE

所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥AC，EO⊥BD，

因?yàn)镺E∥PC，所以PC⊥AC，PC⊥BD，又AC∩BD=O

所以PC⊥平面ABCD．

（Ⅲ）不能成立．

【解析】（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，推導(dǎo)出EO∥PC，由此能證明PC∥平面BDE．（Ⅱ）法一：推導(dǎo)出△PAB≌△PAD，EO⊥BD，從而EO⊥平面ABCD，進(jìn)而EO⊥AC，EO⊥BD，由此得到PC⊥AC，PC⊥BD，從而能證明PC⊥平面ABCD．

法二：連接PO，推導(dǎo)出BD⊥AC，PO⊥BD，從而B(niǎo)D⊥平面PAC，進(jìn)而B(niǎo)D⊥OE，由此得到EO⊥平面ABCD，從而EO⊥AC，EO⊥BD，進(jìn)而PC⊥AC，PC⊥BD，由此能證明PC⊥平面ABCD．（Ⅲ）由PC=λAB，得到平面PAD⊥平面PAB不能成立．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．