Question

已知函數(shù)f（x）=xln（ax）+e^x-1在點(diǎn)（1，0）處切線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓4x²+my²=4m的右焦點(diǎn)，則橢圓兩準(zhǔn)線(xiàn)間的距離為（ ）
A．6
B．8
C．10
D．18

Answer 1

【答案】分析：求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)求出的函數(shù)值即為切線(xiàn)方程的斜率，把x=1代入函數(shù)解析式中得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)求出的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出切線(xiàn)方程求得m，從而求得橢圓兩準(zhǔn)線(xiàn)間的距離即可．
解答：解：由題意得：y′=ln（ax）+1+e^x-1，
把x=1代入得：y′|_x=1=lna+2，
即切線(xiàn)方程的斜率k=lna+2，
且把x=1代入函數(shù)解析式得：y=lna+1=0，即a=，
則所求切線(xiàn)方程為：y-1=x，即y=x+1．
則橢圓4x²+my²=4m的焦點(diǎn)為（1，0）
∴c²=m-4=1，m=5，
∴a²=5，
∴橢圓兩準(zhǔn)線(xiàn)間的距離為==10
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)上過(guò)某點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率，是一道基礎(chǔ)題．