Question

已知函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=kx+b（k，b∈R）的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，曲線y=f（x）在P，Q兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)A．
（Ⅰ）當(dāng)k=e，b=-3時(shí)，求f（x）-g（x）的最大值；（e為自然常數(shù)）
（Ⅱ）若A（，），求實(shí)數(shù)k，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）構(gòu)建新函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）先求出切線方程，代入A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出P，Q的坐標(biāo)，即可求實(shí)數(shù)k，b的值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ex+3（x＞0），
則，----（1分）
當(dāng)時(shí)，h′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，h′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）為減函數(shù)．
所以函數(shù)h（x）的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
∴時(shí)，f（x）-g（x）的最大值為；----（4分）
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與函數(shù)f（x）=lnx切于點(diǎn)（x，lnx），則其斜率，
故切線，
將點(diǎn)代入直線l方程得：，
即，----（7分）
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，v′（x）＜0，函數(shù)v（x）為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，v′（x）＞0，函數(shù)v（x）為減函數(shù)．
故方程v（x）=0至多有兩個(gè)實(shí)根，----（10分）
又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的兩個(gè)實(shí)根為1和e，
故P（1，0），Q（e，1），
所以為所求．----（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)．