Question

已知A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，設(shè)f（A，B）=sin²2A+cos²2B-

3

sin2A-cos2B+2．
（1）當(dāng)f（A，B）取得最小值時(shí)，求C的大��；
（2）當(dāng)C=

π

2

時(shí)，記h（A）=f（A，B），試求h（A）的表達(dá)式及定義域；
（3）在（2）的條件下，是否存在向量

p

，使得函數(shù)h（A）的圖象按向量

p

平移后得到函數(shù)g（A）=2cos2A的圖象？若存在，求出向量

p

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行配方，結(jié)合完全平方數(shù)可求當(dāng)）當(dāng)f（A，B）取得最小值時(shí)，A，B的大小，進(jìn)而可求C的大小
（2）由（1）中C可求A+B，代入h（A）=f（A，B），結(jié)合誘導(dǎo)公式及輔助角公式對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可求
（3）由（2）可求函數(shù)h（A）的單調(diào)區(qū)間，及函數(shù)g（A）=2cos2A在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性，根據(jù)其單調(diào)性是否相同即可判斷

解答：解：（1）配方得f （A，B）=（sin2A-

3

2

）²+（cos2B-

1

2

）²+1，
∴[f （A，B）]_min=1，當(dāng)且僅當(dāng)

sin2A= 3 2 cos2B= 1 2

時(shí)取得最小值．
在△ABC中，

sin2A= 3 2 cos2B= 1 2

?

A= π 6 B= π 6

 或

A= π 3 B= π 6

故C=

2π

3

或

π

2

．…（6分）
（2）C=

π

2

?A+B=

π

2

，
于是h（A）=f(A，B)=sin22A+cos22B-

3

sin2A-cos2B+2
=sin22A+cos22[

π

2

-A]-

3

sin2A-cos2[

π

2

-A]+2
=cos2A-

3

sin2A+3
=2cos（2A+

π

3

）+3．
∵A+B=

π

2

，∴0＜A＜

π

2

．…（11分）
（3）∵函數(shù)h（A）在區(qū)間(0，  

π

3

]上是減函數(shù)，在區(qū)間[

π

3

，  

π

2

)上是增函數(shù)；而函數(shù)g（A）=2cos2A在區(qū)間(0，  

π

2

)上是減函數(shù)．
∴函數(shù)h（A）的圖象與函數(shù)g（A）=2cos2A的圖象不相同，從而不存在滿足條件的向量

p

…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及輔助角公式及三角函數(shù)的單調(diào)性等 知識(shí)的綜合應(yīng)用，解答本題要求考生具備綜合應(yīng)用知識(shí)的能力