Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）見證明

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分類討論和兩種情況，即可得出結(jié)果；

（2）分類參數(shù)的方法，將化為，再由導(dǎo)數(shù)的方法求在的最小值即可；

（3）先由（1）令可知對任意實數(shù)都有，即，再令，即可證明結(jié)論成立.

解：（1）因為，所以，

①當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）因為對任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立.

即當(dāng)時，恒成立.

令，則.

顯然當(dāng)時，，時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴時取最小值.

所以實數(shù)的取值范圍是

（3）在（1）中，令可知對任意實數(shù)都有，

即（等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立）

令，則，即

故