Question

已知點(diǎn)A（-1，1），B（1，1），點(diǎn)P是直線l：y=x-2上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠APB最大時(shí)，則過(guò)A，B，P的圓的方程是

x²+y²=2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意得到經(jīng)過(guò)A和B點(diǎn)，且圓心為原點(diǎn)的圓O與直線y=x-2相切時(shí)，若設(shè)切點(diǎn)為K，此時(shí)∠AKB最大，即P與K重合，若P在其他位置，即P在圓O外時(shí)，可得出∠APB比∠AKB小，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+y²=r²，由A在圓上，求出|OA|的長(zhǎng)，即為圓的半徑，即可確定出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

當(dāng)圓心為原點(diǎn)的圓過(guò)A和B，且與直線y=x-2相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)k，
此時(shí)∠AKB為最大角，點(diǎn)P在點(diǎn)K的位置，即∠APB此時(shí)最大，
設(shè)圓的方程為x²+y²=r²，
∵A在圓O上，A（-1，1），
∴圓的半徑r=|OA|=

(-1)2+12

=

2

，
則所求圓的方程為x²+y²=2．
故答案為：x²+y²=2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式，直線與圓相切的性質(zhì)，其中得出當(dāng)圓心為原點(diǎn)的圓過(guò)A和B，且與直線y=x-2相切時(shí)，切點(diǎn)K為∠APB最大P的位置時(shí)解本題的關(guān)鍵．