Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-bx²圖象上一點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2。
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在內(nèi)有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中e為自然對數(shù)的底）；
（3）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁<x₂），AB中點為C（x₀，0），求證：g′（x₀）≠0。

Answer 1

解：（1）f′（x）=-2bx，f′（2）=-4b，f（2）=aln2-4b，
∴-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2，
解得a=2，b=1；
（2）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
則h′（x）=，令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去），
在[，e]內(nèi)，當x∈[，1）時，h′（x）＞0，所以h（x）是增函數(shù)；
當x∈（1，e]時，h′（x）＜0，所以h（x）是減函數(shù)，
則方程h（x）=0在[，e]內(nèi)有兩個不等實根的充要條件是
即1＜m≤e²-2；
（3）g（x）=2lnx-x²-nx，g′（x）=-2x-n，
假設結(jié)論成立，則有
①-②，得
∴，
由④得，
∴，即，
即，⑤，
令（0＜t＜1），
則u′（t）=＞0，所以u（t）在0＜t＜1上是增函數(shù)，
u（t）＜u（1）=0，
所以⑤式不成立，與假設矛盾，
所以g′（x₀）≠0。