Question

已知a，b為正實數(shù)．
（1）若函數(shù)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若e＜a＜b（e為自然對數(shù)的底），求證：a^b＞b^a．

Answer 1

解：（1）∵，則，
當0＜x＜e時，f′（x）＞0；當x＞e時，f′（x）＜0．
∴當x∈（0，e）時，f（x）為增函數(shù)，當x∈（e，+∞）時，f（x）為減函數(shù)．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：，
∴blna＞alnb，
即lna^b＞lnb^a，
∴a^b＞b^a；
分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減；
（2）根據(jù)第一問的單調(diào)性可知若e＜a＜b，f（a）＞f（b），可得：，化簡變形，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可證得a^b＞b^a．
點評：本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，以及不等式的證明等基礎知識，同時考查了分析與解決問題的綜合能力．