如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上．

(1) 求拋物線E的方程；

(2) 設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y＝－1相交于點(diǎn)Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上某定點(diǎn)．


解：(1) 依題意，OB＝8，∠BOy＝30°.設(shè)B(x，y)，則x＝OBsin30°＝4，y＝OBcos30°＝12.因?yàn)辄c(diǎn)B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故拋物線E的方程為x2＝4y.

即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)

由于(*)式對(duì)滿足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，

所以解得y1＝1.

故以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上的定點(diǎn)M(0，1)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.

(1) 若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積；

(2) 若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


已知橢圓＋y2＝1的左頂點(diǎn)為A，過(guò)A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點(diǎn)．

(1) 當(dāng)直線AM的斜率為1時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2) 當(dāng)直線AM的斜率變化時(shí)，直線MN是否過(guò)x軸上的一定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


拋物線y2＝4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x＝________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－2，該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線x＝－2的距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時(shí)與直線l1：y＝x和l2：y＝－x 相切的圓，

(1) 求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(2) 是否存在一條直線l同時(shí)滿足下列條件：

① l分別與直線l1和l2交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為E(4，1)；

② l被圓N截得的弦長(zhǎng)為2.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為_(kāi)_______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


方程＝1表示橢圓，則k的取值范圍是________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


如圖，已知橢圓＝1(a>b>0)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.

(1) 若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；

(2) 若，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


根據(jù)下列條件，求雙曲線方程．

(1) 與雙曲線＝1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(－3，2)；

(2) 與雙曲線＝1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3，2)．

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同步練習(xí)冊(cè)答案