Question

【題目】某地區(qū)在一次考試后，從全體考生中隨機(jī)抽取44名，獲取他們本次考試的數(shù)學(xué)成績(x)和物理成績(y)，繪制成如圖散點(diǎn)圖：

根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個(gè)異常點(diǎn)A，B．經(jīng)調(diào)查得知，A考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，B考生因故未能參加物理考試．為了使分析結(jié)果更科學(xué)準(zhǔn)確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計(jì)的值：其中xi，yi分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績、物理成績，i＝1，2，…，42，y與x的相關(guān)系數(shù)r＝0.82．

（1）若不剔除A，B兩名考生的數(shù)據(jù)，用44組數(shù)據(jù)作回歸分析，設(shè)此時(shí)y與x的相關(guān)系數(shù)為r0．試判斷r0與r的大小關(guān)系，并說明理由；

（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并估計(jì)如果B考生加了這次物理考試（已知B考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>125分），物理成績是多少？（精確到個(gè)位）；

（3）從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律看，本次考試該地區(qū)的物理成績ξ服從正態(tài)分布，以剔除后的物理成績作為樣本，用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本方差s2作為σ2的估計(jì)值．試求該地區(qū)5000名考生中，物理成績位于區(qū)間（62.8，85.2）的人數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望．

附：①回歸方程中：

②若，則

③11.2

Answer 1

【答案】（1）r0＜r，理由詳見解析；（2），81分；（3）3413．

【解析】

（1）結(jié)合散點(diǎn)圖，可得出結(jié)論；

（2）利用題中給的相關(guān)系數(shù)，最小二乘法寫出回歸直線方程，再令x＝125，即可算出答案；

（3）算出，s2，得到ξ～N（74，125），11.2，所以P（63.8＜ξ＜85.2）＝因?yàn)?/span>，即可算出期望．

（1）r0＜r．

理由如下：由圖可知，y與x成正相關(guān)關(guān)系，

①異常點(diǎn) A，B 會降低變量之間的線性相關(guān)程度．

②44個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線的總偏差更大，回歸效果更差，所以相關(guān)系數(shù)更�。�

③42個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線的總偏差更小，回歸效果更好，所以相關(guān)系數(shù)更大．

④42個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)更貼近其回歸直線l．

⑤44個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線更離散．

（2）由題中數(shù)據(jù)可得：

，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

，所以，

將代入，得，

所以估計(jì)B同學(xué)的物理成績約為81分.

（3），

所以ξ～N（74，125），又因?yàn)?/span>11.2

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

即該地區(qū)本次考試物理成績位于區(qū)間（62.8，85.2）的數(shù)學(xué)期望為3413．