Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，直線PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°，又點Q，M，N分別是線段PB，AB，BC的中點，且點K是線段MN上的動點．
（Ⅰ）證明：直線QK∥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB=BC=8，且二面角Q-AK-M的平面角的余弦值為

3

9

，試求MK的長度．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)QM，通過證明平面QMN∥平面PAC，利用平面與平面平行的性質(zhì)定理證明QK∥平面PAC．
（Ⅱ）方法1：過M作MH⊥AK于H，連QH，則∠QHM即為二面角Q-AK-M的平面角，設(shè)MK=x，利用cos∠QHM=

3

9

，求解MK的長度．
方法2：以B為原點，以BC、BA所在直線為x軸y軸建空間直角坐標系，求出平面AQK的一個法向量，平面AKM的一個法向量，利用向量的數(shù)量積結(jié)合二面角的大小，求解MK的長度．

解答： 解：（Ⅰ）連結(jié)QM，∵點Q，M，N分別是線段PB，AB，BC的中點
∴QM∥PA 且MN∥AC，從而QM∥平面PAC 且MN∥平面PAC
又∵MN∩QM=M，∴平面QMN∥平面PAC   而QK?平面QMN
∴QK∥平面PAC                                     …（7分）
（Ⅱ）方法1：過M作MH⊥AK于H，連QH，則∠QHM即為二面角Q-AK-M的平面
角，設(shè)MK=x，且PA=PB=PC=8則MH=

2 2 x

x2+4 2 x+16

，又QM=4，且cos∠QHM=

3

9

，
∴tan∠QHM=

QM

MH

=

2 x2+4 2 x+16

x

=

26

，
解得x=

2

，∴MK的長度為

2

．                   …（15分）
方法2：以B為原點，以BC、BA所在直線為x軸y軸建空間直角坐標系，
則A（0，8，0），M（0，4，0），N（4，0，0），P（0，8，8），Q （0，4，4），
設(shè)K（a，b，0），則a+b=4，

AQ

=（0，-4，4），

AK

=(a，-4-a，0)…（9分）
記

n

=(x，y，z)為平面AQK的一個法向量，則

n • AQ =0 n • Azk =0

⇒

y=z ax=(4+a)y

，
取y=z=a則x=4+a，
則

n

=(a+4，a，a)，…（11分）
又平面AKM的一個法向量

m

=(0，0，1)，設(shè)二面角Q-AK-M的平面角為θ
則|cosθ|=

| m • n |

| m || n |

=

a

(a+4)2+2a2

=

3

9

，解得a=1，
∴MK的長度為

2

．                      …（15分）

點評：本題考查面面平行，考查二面角知識的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握面面平行、二面角的求法，屬于中檔題．