Question

已知函數(shù)f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）當(dāng)a=-3時，求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）設(shè)g(x)=

19

6

x-

1

3

，是否存在實(shí)數(shù)a，對于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值；
（2）確定函數(shù)g（x）的值域，設(shè)h（x₁）=f′（x₁）+2ax₁，要使對于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]使得h（x₁）=g（x₂）成立，只需在[-1，1]上，-

1

3

≤h（x₁）≤6，由此可求a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=-3時，f（x）=x³+4x²-3x，f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）=0得：x₁=-3、x₂=

1

3

令f'（x）＜0，可得-3＜x＜

1

3

，令f'（x）＞0，可得x＜-3或x＞

1

3

，
所以f（x）在（-3，

1

3

）單調(diào)遞減，在（-∞，-3），（

1

3

，+∞）單調(diào)遞增   
所以f（x）_極大=f（-3）=18，f（x）_極小=f（

1

3

）=-

14

27

；
（2）在[0，2]，g(x)=

19

6

x-

1

3

是增函數(shù)，故對于x₂∈[0，2]，g（x₂）∈[-

1

3

，6]．
設(shè)h（x₁）=f′（x₁）+2ax₁=3

x

2 1

+2x₁-a（a+2），x₁∈[-1，1]，∴h'（x₁）=6x₁+2，
由h'（x₁）=0，得x₁=

1

3

要使對于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]使得h（x₁）=g（x₂）成立，只需在[-1，1]上，-

1

3

≤h（x₁）≤6，
在（-1，-

1

3

）上h′（x₁）＜0，在（-

1

3

，1）上h′（x₁）＞0，
∴x₁=-

1

3

時，h（x₁）有極小值h（-

1

3

）=-

1

3

-a²-2a，
∵h(yuǎn)（-1）=1-a²-2a，h（1）=5-a²-2a，
∵在[-1，1]上，h（x₁）只有一個極小值，
∴h（x₁）的最小值為-

1

3

-a²-2a，
∴

1-a2-2a≤6 5-a2-2a≤6 - 1 3 -a2-2a≥- 1 3

解得-2≤a≤0．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．