Question

已知函數(shù)f（x）=x（1+a|x-a|），a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，求a的值；
（2）若|f（x）|≤1對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令f（x）=0則x=0或1+a|x-a|=0，由條件判斷a＜0，解出方程，令其中一個(gè)為0，求出a即可；
（2）討論x=0，0＜x≤1時(shí)，-1≤x＜0時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，畫出y=

1

x

，y=-

1

x

，y=1+a|x-a|，的圖象，注意觀察圖象的位置關(guān)系，考慮a的變化，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）令f（x）=0則x=0或1+a|x-a|=0，
由函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，顯然a≠0，則a＜0．
解得x=a+

1

a

或a-

1

a

，可令a-

1

a

=0，求得a=-1．檢驗(yàn)成立，
故a=-1；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0顯然成立；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，|f（x）|≤1等價(jià)為-

1

x

≤1+a|x-a|≤

1

x

，
在同一坐標(biāo)系中，畫出y=

1

x

，y=-

1

x

，y=1+a|x-a|，
0＜x≤1．由圖象觀察得到，-1≤a≤0；
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，|f（x）|≤1等價(jià)為

1

x

≤1+a|x-a|≤-

1

x

，
在同一坐標(biāo)系中，畫出y=

1

x

，y=-

1

x

，y=1+a|x-a|，
-1≤x＜0．由圖象觀察得到當(dāng)-2＜a＜-1時(shí)，y=1+a|x-a|，
與y=

1

x

的圖象相切，故m＜a≤0，m∈（-2，-1）時(shí)，不等式恒成立．
綜上可知，當(dāng)-1≤a≤0時(shí)，|f（x）|≤1對(duì)x∈[-1，1]恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，通過圖象觀察，是迅速解題的關(guān)鍵，