Question

已知f（x）=m^x（m為常數(shù)，m＞0且m≠1）．設(shè)f（a₁），f（a₂），…f（a_n）…（n∈N^*?）是首項(xiàng)為m²，公比為m的等比數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)m=2時(shí)，求S_n；
（3）若c_n=f（a_n）•lgf（a_n），問是否存在m，使得數(shù)列{c_n}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？若存在，求出m的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，從而可得a_n=n+1，進(jìn)而可證數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列的和；
（3）求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，要使c_n＜c_n+1對(duì)一切n∈N^*成立，即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm＜（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，對(duì)一切n∈N^*成立，對(duì)m進(jìn)行分類討論，即可求得m的取值范圍．

解答：（1）證明：由題意，f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，即man=mn+1．
∴a_n=n+1，（2分）
∴a_n+1-a_n=1，∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．（4分）
（2）解：由題意b_n=a_n•f（a_n）=（n+1）•mⁿ⁺¹，
當(dāng)m=2時(shí)，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹
∴S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹�、伲�6分）
①式兩端同乘以2，得
2S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²�、�
②-①并整理，得
S_n=-2•2²-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²-

22(1-2n)

1-2

+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²+2²（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²•n．（9分）
（3）解：由題意c_n=f（a_n）•lgf（a_n）=mⁿ⁺¹•lgmⁿ⁺¹=（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm，
要使c_n＜c_n+1對(duì)一切n∈N^*成立，
即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm＜（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，對(duì)一切n∈N^*成立，
①當(dāng)m＞1時(shí)，lgm＞0，所以n+1＜m（n+2）對(duì)一切n∈N^*恒成立；（11分）
②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，lgm＜0，所以等價(jià)使得

n+1

n+2

＞m對(duì)一切n∈N^*成立，
因?yàn)?span id="4k9aa1p" class="MathJye">

n+1

n+2

=1-

1

n+2

的最小值為

2

3

，所以0＜m＜

2

3

．
綜上，當(dāng)0＜m＜

2

3

或m＞1時(shí)，數(shù)列{c_n}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項(xiàng)，掌握求和公式是關(guān)鍵．