如圖,四邊形ABCD中,△BCD為正三角形,AD=AB=2,,AC與BD交于O點.將△ACD沿邊AC折起,使D點至P點,已知PO與平面ABCD所成的角為θ,且P點在平面ABCD內(nèi)的射影落在△ACD內(nèi).
(Ⅰ)求證:AC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若已知二面角A-PB-D的余弦值為,求θ的大。

【答案】分析:(Ⅰ)利用線面垂直的判定定理,可證AC⊥平面PBD;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用二面角A-PB-D的余弦值為,可求θ的大小.
解答:(Ⅰ)證明:由題意,O為BD的中點,則AC⊥BD,
又AC⊥PO,BD∩PO=O,所以AC⊥平面PBD;
(Ⅱ)解:以O(shè)B為x軸,OC為y軸,過O垂直于平面ABC向上的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,-1,0),B(),P(,),則,
平面PBD的法向量為
設(shè)平面ABP的法向量為
則由得,,令x=1,則
∴cos<>===
=3,即,
又θ∈,∴
點評:本題考查線面垂直,考查面面角,考查向量知識的運用,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形,點E是A′A的中點,A′A⊥平面ABCD.
(1) 求證:A′C∥平面BDE;
(2) 求證:平面A′AC⊥平面BDE
(3) 求平面BDE與平面ABCD所成銳二面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
12
PD.
(Ⅰ)證明PQ⊥平面DCQ;
(Ⅱ)求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值.

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如圖,四邊形ABCD為矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,PA=1,E為BC的中點.
(1)求點C到面PDE的距離;  
(2)求二面角P-DE-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如果它的一個外角∠DCE=64°,那么∠BOD
128°
128°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
12
PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角D-PQ-C的余弦值.

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