Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且點(diǎn)(

an

，an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=x²+1的圖象上
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

Sn

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_n＜λa_n+1對(duì)一切n∈N^•都成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，確定{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用bn=

1

Sn

，可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）裂項(xiàng)法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，根據(jù)T_n＜λa_n+1對(duì)一切n∈N^•都成立，利用分離參數(shù)法，求出函數(shù)的最值，即可求得λ的取值范圍．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且點(diǎn)(

an

，an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=x²+1的圖象上，
∴a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∵a₁=1，
∴a_n=n；
（2）因?yàn)?span id="e7hxz9s" class="MathJye">Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

n2+n

2

，bn=

1

Sn

，所以bn=

2

n2+n

（3）由bn=

2

n2+n

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
得Tn=2(

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

若T_n＜λa_n+1對(duì)一切n∈N^•都成立，即

2n

n+1

＜λ(n+1)，n∈N^•恒成立，所以λ＞

2n

(n+1)2

而

2n

(n+1)2

=

2

n+ 1 n +2

≤

2

2+2

=

1

2

）（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)）
所以λ＞

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，正確求和，利用分離參數(shù)法是解題的關(guān)鍵．