Question

將一塊圓心角為

π

3

半徑為a的扇形鐵片截成一塊矩形，如圖，有兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上（圖1）或讓矩形一邊與弦AB平行（圖2）
（1）在圖1中，設矩形一邊PM的長為x，試把矩形PQRM的面積表示成關于x的函數(shù)；
（2）在圖2中，設∠AOM=θ，試把矩形PQRM的面積表示成關于θ的函數(shù)；
（3）已知按圖1的方案截得的矩形面積最大為

3

6

a2，那么請問哪種裁法能得到最大面積的矩形？說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出PM，RM的值，利用面積公式可得結論；
（2）利用正弦定理求RM，OR，再利用面積公式可得結論；
（3）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)求最值，即可得到結論．

解答：解：（1）PM=QR=x，在Rt△QRO中，OR=

x

3

在Rt△PMO中，OM=

a2-x2

，∴RM=OM-OR=

a2-x2

-

3 x

3

…（2分）
∴S=PM•RM=x

a2-x2

-

3

3

x2，x∈(0，

3

2

a)…（3分）
（2）∠MRA=

1

2

×

π

3

=

π

6

，∠MRO=

5π

6

，
在△OMR中，由正弦定理，得：

RM

sinθ

=

a

sin 5π 6

，即RM=2a•sinθ，…（6分）
又

OR

sin( π 6 -θ)

=

a

sin 5π 6

，∴OR=2a•sin（

π

6

-θ），…（8分）
又正△ORQ中，QR=OR=2a•sin（

π

6

-θ）
∴矩形的MPQR的面積為S=MR•PQ=4a²•sinθ•sin（

π

6

-θ）  θ∈(0，

π

3

)…（9分）
（3）對于（2）中的函數(shù)S=4a2sinθ(

1

2

cosθ-

3

2

sinθ)=4a2(

1

2

sinθcosθ-

3

2

sin2θ)=4a2[

1

4

sin2θ-

3

4

(1-cos2θ)]=2a2[sin(2θ+

π

3

)-

3

2

]…（11分）
當2θ+

π

3

=

π

2

，即θ=

π

12

時，Smax=(2-

3

)a2…（13分）
∵(2-

3

)a2＜

3

6

a2，故按圖1的方案能得到最大面積的矩形．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)模型的建立，考查正弦定理的運用，考查三角函數(shù)的化簡，考查學生的計算能力，屬于中檔題．