Question

橢圓（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，3），離心率
（1）求橢圓方程；
（2）若直線?：y=kx-3與橢圓交于不同的兩點M，N，且滿足，，求直線?的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，a，b，c的關系有b=3，e=，a²=b²+c²，解得a=5，b=3．
（2）由題意得AP⊥MN，且P是線段MN的中點．設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x，y）聯(lián)立直線與橢圓的方程的（25k²+9）x²-150kx=0．可得P點的坐標進而得直線AP的斜率為，由MN⊥AP，得，可得k的值，進而求出 的方程．
解答：解：（1）依題意，有，解得
∴橢圓方程為．
（2）∵，，
∴AP⊥MN，且P是線段MN的中點，
由消去y并整理得，（25k²+9）x²-150kx=0．
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x，y）
則，∴
∴
即
∵k≠0，∴直線AP的斜率為
由MN⊥AP，得，
解得（此時滿足判別式△＞0）
∴直線?的方程為．
點評：求解橢圓方程的關鍵是熟練掌握橢圓中的相關數值a，b，c之間的關系，求解直線方程的關鍵是靈活運用平面向量的有關知識，把向量問題轉化為代數運算問題，此知識點是高考考查的熱點之一．